f(f(x))=-x の続き - ヒビノキロク

f(x)=1/xは悪くないアイデアだがf(1)=1となってしまうのが問題だった。そこで1を境界とするのはそのままで、(0,1]を(1,∞)に写像する関数を考えてみる。まず思いついたのはf(x)=1/(1-x)。ただしこれだとf(1)=∞になってしまうので少し捻って、

$\large f(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{1-x+\epsilon}$

このようにする。このとき、実数全体は(-∞,-1), [-1,0), {0}, (0,1], (1,+∞)という５つの領域に分けられる。前回の考察で定義した集合との対応関係は以下の通り。

A = R+∧R*  = (0,1]
B = R+∧~R* = (1,+∞)
C = R-∧R*  = [-1,0)
D = R-∧~R* = (-∞,-1)
E = {0}

あとはA → B → C → D → A → ...という状態変化をするように場合分けしてそれぞれに関数を定める。

$\large f_1(x) = \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{1-x+\epsilon}$
⇒f1(x)∈(1,+∞)

$\large f_2(x) = -\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(1-\frac{1}{x}+\epsilon\right)$
⇒f2(x)∈[-1,0)

$\large f_3(x) = -\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{1-|x|+\epsilon}$
⇒f3(x)∈(-∞,-1)

$\large f_4(x) = \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(1-\frac{1}{|x|}+\epsilon\right)$
⇒f4(x)∈(0,1]

$\large f_5(x) = 0$

(i)〜(v)より、

f(x)	=	\| $\large s\cdot\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(1-\frac{1}{x}+\epsilon\right)$	if \|x\| > 1
		\| $\large s\cdot\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{1-\|x\|+\epsilon}$	if 0 < \|x\| <= 1
		\| 0	if x = 0

where s=x/|x|.

一部のxについてf(f(x))を計算してみた。

数値計算の誤差があるので本当のところは何とも言えないけど、少なくともおかしな値が出ていないことは確認できる。

ちなみにfはこんな関数：

風車（かざぐるま）関数とでも呼ぼうか。