ビンゴの確率その4 - ヒビノキロク

前回はm=11までやったので、その続きから。

その前に、前回の結果も加えた表を再掲しておく。

m	bingo(m)_r=1	bingo(m)_r=2	bingo(m)_r=3	bingo(m)
4	4			4
5	88			88
6	912			912
7	5928			5928
8	27072	30		27102
9	92016	504		92520
10	240120	3972		244092
11	488304	19344	48	507696
12				841100
13				1113360
14				1174620
15				981424
16				644445
17				331056
18				133428
19				42480
20				10626
21				2024
22				276
23				24
24				1

m=12のとき

(1)r=3になるのは、
m=12で初めてr=3となる場合が、

X³: ₄C₃=4通り

 *_*_*
 _***_
 __x__
 _***_
 *_*_*

X²V, X²H: 4*3=12通り

 *_*__   *****
 *_*__   __*__
 **x**   **x**
 *_*__   __*__
 *_*__   __*__

XV², XH²: ₄C₂*3=18通り

 **___   *****
 **___   *****
 **x**   __x__
 **___   __*__
 **___   __*__

XVH: 2*4*1+2*4*4=40通り

 *****   *****
 **___   *_*__
 *_x__   *_x__
 *__*_   *_*__
 *___*   *_*__

で、合計が4+12*2+18*2+40=104通り。

これに加えてm=11でr=3の場合も考慮すると、
48*₁₃C₁+104=728通り
が、r=3になる場合の総数となる。

(2)r=2になるのは、
30*₁₆C₄+24*₁₅C₃+12*₁₄C₂=66612通り。
ここからr=3になる場合を引いて、
66612-728*₃C₂=64428通り
が、r=2の正味の数。

(3)r=1になるのは、
4*₂₀C₈+8*₁₉C₇=906984通り。
ここからr=2になる場合とr=3になる場合を引いて、
906984-64428*₂C₁-728*₃C₁=775944通り
が、r=1の正味の数。

よって、m=12の総数は、
775944+64428+728=841100通り。

m=13のとき

(1)r=4になるのは、

X²VH: 4*2=8通り。

 *****
 _*_*_
 _*x__
 _*_*_
 **__*

(2)r=3になるのは、
m=13で初めてr=3となる場合が、
V²H, VH²: ₄C₂*4=24通り

 *****   *****
 **___   *****
 **x__   *_x__
 **___   *____
 **___   *____

で、合計が24*2=48通り。

これに加えてm<13でr=3の場合も考慮すると、
48*₁₃C₂+104*₁₂C₁+48=5040通り。

ここからr=4になる場合を引いて、
5040-8*₄C₃=5008通り
が、r=3の正味の数。

(3)r=2になるのは、
30*₁₆C₅+24*₁₅C₄+12*₁₄C₃=168168通り。

ここからr=3になる場合とr=4になる場合を引いて、
168168-5008*₃C₂-8*₄C₂=153096通り
が、r=2の正味の数。

(4)r=1になるのは、
4*₂₀C₉+8*₁₉C₈=1276496通り。

ここからr=2,3,4になる場合を引いて、
1276496-153096*₂C₁-5008*₃C₁-8*₄C₁=955248通り
が、r=1の正味の数。

よって、m=13の総数は、
955248+153096+5008+8=1113360通り。

m=14のとき

(1)r=4になるのは、
m=14で初めてr=4となる場合が、

X³V, X³H: 4通り

 *___*   *****
 **_*_   _***_
 **x**   __x__
 **_*_   _***_
 *___*   *_*_*

X²V², X²H²: ₃C₂*₄C₂=18通り

 **__*   *****
 **_*_   *****
 **x__   __x__
 **_*_   _*_*_
 **__*   *___*

X²VH: 4*2+2*2*4*3=56通り

 *****   *****   *****
 **_*_   *_**_   *__*_
 *_x__   *_x__   **x**
 **_*_   ***__   **___
 *___*   *_*__   *____

XV²H, XVH²: 2*₃C₂*4=24通り

 *****   *****
 **_*_   *****
 **x__   *_x__
 **___   **___
 **___   *____

で、合計が4*2+18*2+56+24*2=148通り。

これに加えてm=13でr=4の場合も考慮すると、
8*₁₁C₁+148=236通り
が、r=4になる場合の総数となる。

(2)r=3になるのは、
m=14で初めてr=3となる場合が、

XV², XH²: ₄C₂=6通り

 ***__   *****
 ***__   *****
 **x__   **x**
 ***__   _____
 ***__   _____

で、合計が6*2=12通り。

これに加えてm<14でr=3の場合も考慮すると、
48*₁₃C₃+104*₁₂C₂+48*₁₁C₁+12=21132通り。

ここからr=4になる場合を引いて、
21132-236*₄C₃=20188通り
が、r=3の正味の数。

(3)r=2になるのは、
30*₁₆C₆+24*₁₅C₅+12*₁₄C₄=324324通り。

ここからr=3になる場合とr=4になる場合を引いて、
324324-20188*₃C₂-236*₄C₂=262344通り
が、r=2の正味の数。

(4)r=1になるのは、
4*₂₀C₁₀+8*₁₉C₉=1478048通り。

ここからr=2,3,4になる場合を引いて、
1478048-262344*₂C₁-20188*₃C₁-236*₄C₁=891852通り
が、r=1の正味の数。

よって、m=14の総数は、
891852+262344+20188+236=1174620通り。

m=15のとき

(1)r=5になるのは、

X²V²H, X²VH²: 4通り

 *****   *****
 _*_*_   _*_*_
 _*x*_   _*x__
 _*_*_   _*_*_
 **_**   *****

で、合計が4*2=8通り。

(2)r=4になるのは、
m=15で初めてr=4となる場合が、

X³V, X³H: ₃C₂*4=12通り

 *_*_*   *****
 ****_   _*_*_
 *_x__   **x**
 ****_   _*_*_
 *_*_*   *___*

X²VH: 4*4+2*2*4*1=32通り

 *****   *****
 *_*__   ***__
 **x**   *_x__
 *_*__   *_**_
 *_*__   *_*_*

XV²H, XVH²: ₄C₂*4+2*₃C₁*4=48通り

 *****   *****
 **___   *****
 **x**   *_x__
 **___   *__*_
 **___   *___*

で、合計が12*2+32+48*2=152通り。

これに加えてm<15でr=4の場合も考慮すると、
8*₁₁C₂+148*₁₀C₁+152=2072通り。

ここからr=5になる場合を引いて、
2072-8*₅C₄=2032通り
が、r=4の正味の数。

(3)r=3になるのは、
m=15で初めてr=3となる場合が、

V³, H³: 4通り

 **_*_   *****
 **_*_   *****
 **x*_   __x__
 **_*_   *****
 **_*_   _____

で、合計が4*2=8通り。

これに加えてm<15でr=3の場合も考慮すると、
48*₁₃C₄+104*₁₂C₃+48*₁₁C₂+12*₁₀C₁+8=59968通り。

ここからr=4になる場合とr=5になる場合を引いて、
59968-2032*₄C₃-8*₅C₃=51760通り
が、r=3の正味の数。

(4)r=2になるのは、
30*₁₆C₇+24*₁₅C₆+12*₁₄C₅=487344通り。

ここからr=3,4,5になる場合を引いて、
487344-51760*₃C₂-2032*₄C₂-8*₅C₂=319792通り
が、r=2の正味の数。

(5)r=1になるのは、
4*₂₀C₁₁+8*₁₉C₁₀=1410864通り。

ここからr=2,3,4,5になる場合を引いて、
1410864-319792*₂C₁-51760*₃C₁-2032*₄C₁-8*₅C₁=607832通り
が、r=1の正味の数。

よって、m=15の総数は、
607832+319792+51760+2032+8=981424通り。

m=16のとき

(1)r=6になるのは、

X²V²H²: 2通り。

 *****
 _*_*_
 _*x*_
 _*_*_
 *****

(2)r=5になるのは、
m=16で初めてr=5となる場合が、

X³V², X³H²: ₄C₂=6通り

 **__*   *****
 **_*_   *****
 **x**   __x__
 **_*_   _***_
 **__*   *_*_*

X³VH: 2*4*2=16通り

 *****
 _***_
 _*x__
 _***_
 ***_*

X²V²H, X²VH²: 4*2*2+2*4*₃C₂=40通り

 *****   *****
 **_*_   *****
 **x__   *_x__
 **_*_   ***__
 **__*   *_*__

XV²H²: 2*₄C₂=12通り

 *****
 *****
 **x__
 **___
 **___

で、合計が6*2+16+40*2+12=120通り。

これに加えてm=15でr=5の場合も考慮すると、
8*₉C₁+120=192通り。

ここからr=6になる場合を引いて、
192-2*₆C₅=180通り
が、r=5の正味の数。

(3)r=4になるのは、
m=16で初めてr=4となる場合が、

X⁴: ₄C₄=1通り

 *_*_*
 _***_
 **x**
 _***_
 *_*_*

X²V², X²H²: 3*₄C₂=18通り

 ***__   *****
 ***__   *****
 **x**   **x**
 ***__   __*__
 ***__   __*__

XV³, XH³: 3*₄C₃=12通り

 **_*_   *****
 **_*_   *****
 **x**   __x__
 **_*_   *****
 **_*_   __*__

XV²H, XVH²: ₄C₂*4=24通り

 *****   *****
 ***__   *****
 **x__   **x**
 ***__   *____
 ***__   *____

V²H²: ₄C₂*₄C₂=36通り

 *****
 *___*
 *_x_*
 *___*
 *****

で、合計が1+18*2+12*2+24*2+36=145通り。

これに加えてm<16でr=4の場合も考慮すると、
8*₁₁C₃+148*₁₀C₂+152*₉C₁+145=9493通り。

ここからr=5,6になる場合を引いて、
9493-180*₅C₄-2*₆C₄=8563通り
が、r=4の正味の数。

(4)r=3になるのは、
48*₁₃C₅+104*₁₂C₄+48*₁₁C₃+12*₁₀C₂+8*₉C₁=121788通り。

ここからr=4,5,6になる場合を引いて、
121788-8563*₄C₃-180*₅C₃-2*₆C₃=85696通り
が、r=3の正味の数。

(5)r=2になるのは、
30*₁₆C₈+24*₁₅C₇+12*₁₄C₆=576576通り。

ここからr=3,4,5,6になる場合を引いて、
576576-85696*₃C₂-8563*₄C₂-180*₅C₂-2*₆C₂=266280通り
が、r=2の正味の数。

(5)r=1になるのは、
4*₂₀C₁₂+8*₁₉C₁₁=1108536通り。

ここからr=2,3,4,5,6になる場合を引いて、
1108536-266280*₂C₁-85696*₃C₁-8563*₄C₁-180*₅C₁-2*₆C₁=283724通り
が、r=1の正味の数。

よって、m=15の総数は、
283724+266280+85696+8563+180+2=644445通り。

さらに続く

やっとm=16まで来たよ…。でもまだまだ終わらない…。