ビンゴの確率その3 - ヒビノキロク

前回は、5x5のビンゴで24個の穴からm個を選ぶ組み合わせのうち１つ以上ビンゴになっている場合の数bingo(m)をプログラムで求めた（以下の表に再掲）。今度はこれらの数字がどういう式で表されるかを調べてみることにする。

m	bingo(m)
4	4
5	88
6	912
7	5928
8	27102
9	92520
10	244092
11	507696
12	841100
13	1113360
14	1174620
15	981424
16	644445
17	331056
18	133428
19	42480
20	10626
21	2024
22	276
23	24
24	1

最初にいくつか表記法などについて決める。まず、ビンゴの数をランクと呼びrで表す。また、ビンゴになる列のうち中心を通る4本の列をX、通らない列のうち垂直の列をV、水平の列をHと表す。そしてX、V、Hの数を指数で表す。たとえば、以下の盤面はX³V²Hと表される。

 *****
 _*_*_
 **x**
 _*_*_
 **_**

ただし、*は空いている数字、_はまだ空いていない数字を意味する。

m=4のとき

Xのときr=1となるので、₄C₁=4で4通り。

m=5のとき

VまたはHのときr=1となる。
₄C₁+₄C₁=8通り。

それに加えて、m=4でXとなり残り20個の数字から１つ選ぶ場合もあるので、
4*₂₀C₁+8=88通り。

m=6のとき

m=4でr=1になって残りの数字から2つ選ぶ場合と、m=5でr=1になって残りの数字から1つ選ぶ場合がある。
4*₂₀C₂+8*₁₉C₁=912通り。

m=7のとき

m=6と同様に、
4*₂₀C₃+8*₁₉C₂=5928通り。

m=8のとき

(1)r=2になるのは、

X²: ₄C₂=6通り

 *___*
 _*_*_
 __x__
 _*_*_
 *___*

XV, XH: 4*3=12通り

 *****   *____
 _*___   **___
 __x__   *_x__
 ___*_   *__*_
 ____*   *___*

の合計30通り。

(2)r=1になるのは、
4*₂₀C₄+8*₁₉C₃=27132通り。
ただしこれはr=2の場合も含んでいるので、その分を差し引くと
27132-30=27102通り。
（より正確には、r=2の場合を含まないr=1の正味の数が27132-30*₂C₁=27072通り、それにr=2の場合の数30を加えて27072+30=27102通りとなる)

m=9のとき

(1)r=2になるのは、

m=9で初めてr=2となる場合が、

XV, XH: 4*1=4通り

 *_*__   *****
 *_*__   _____
 *_x__   **x**
 *_*__   _____
 *_*__   _____

VH: 4*4=16通り

 *****
 *____
 *_x__
 *____
 *____

の合計24通り。

これに加えてm=8でr=2の場合も考慮すると、
30*₁₆C₁+24=504通り。

(2)r=1になるのは、
4*₂₀C₅+8*₁₉C₄=93024通り。

ここからr=2の場合を差し引いて、
93024-504=92520通り。

m=10のとき

(1)r=2になるのは、

m=10で初めてr=2となる場合が、

V², H²: ₄C₂=6通り。

 **___   *****
 **___   *****
 **x__   __x__
 **___   _____
 **___   _____

これに加えてm<10でr=2の場合も考慮すると、
30*₁₆C₂+24*₁₅C₁+12=3972通り。

(2)r=1になるのは、
4*₂₀C₆+8*₁₉C₅=248064通り。

ここからr=2の場合を差し引いて、
248064-3972=244092通り。

m=11のとき

(1)r=3になるのは、

X²V, X²H: 4*₃C₂=12通り

 *****
 _*_*_
 __x__
 _*_*_
 *___*

XVH: 4*3*2=24通り

 *****
 _**__
 __x__
 __**_
 __*_*

の合計48通り。

(2)r=2になるのは、
30*₁₆C₃+24*₁₅C₂+12*₁₄C₁=19488通り。
これはr=3の場合も含んでいるので、
19488-48*₃C₂=19344通り
がr=2の正味の数となる。

(3)r=1になるのは、
4*₂₀C₇+8*₁₉C₆=527136通り。
ここからr=2とr=3の場合を差し引きして、r=1の正味の数が
527136-19344*₂C₁-48*₃C₁=488304通り。

従って、全部で488304+19344+48=507696通り。

以下次回

長くなったので今日はここまでにする。